石とりゲーム 答え

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石取りゲーム（１）の答え
山にある石の数を　a　とする。
ゲームの定義に　より　a=1　の時に手番なら負け。
したがって　a=2,3,4 の時に手番なら勝ち。
a=5 が手番の時には、a=2,3,4 にすることしかできないから負け。
以下同様に、a=9,13,17....　が手番になると負けになる。
従って、必勝法は次の通り。
(1)　a=4n+1(n　は　0　または自然数）ならば後手を選び、それ以外の時には先手を選ぶ
(2)　以下、a=4n+1 にして相手に手を渡す。
※相手が必勝法を知らなければ、上の(2)にするチャンスが必ず訪れるはず。

石取りゲーム（２）の答え
答えだけ簡単に・・・
3つの山の石の個数を４で割った余りを a,b,c　とし　山の状態を{a,b,c}とする。
ただし、　a=>b=>cとする。
次の状態で手番なら負けになる。
{1,0,0}
{1,1,1}
{2,2,0}
{3,3,0}
{3,2,1}
(1)　最初が上の状態なら後手を選び、それ以外ならば先手を選ぶ。
(2)　以下、上の状態になるようにして相手に手を渡す。
　もう少し簡単に表せるような気もするが・・・・

たぶん
「石の山がＭあり、交互にＮ個ずつ取る場合」の必勝法を書けば、数学に近づく気がするのだがそこまで考える脳みそがない。