切手問題

数学の未解決の問題に「郵便切手問題」というのがあるらしい。

切り離されていない、横に１列に並んだn枚の切手を、折りたたんでいって、切手１枚のサイズにまで折りたたむ。このとき、左端の切手が一番上になるような折りたたみ方は何通りあるか？

わたしなんぞは慌て者だから、すぐ次のような結論を出す。

切手はn枚だから、折り目はn-1。しかし一番最初の折り目は山折りしかできないから、残りの折り目はn-2。それぞれが山折りまたは谷折りができるので答えは、2^(n-2)・・・（^は累乗を表す）。

n=4まではたしかにこのようになる。しかし、５枚になるともういけない。山・谷は同じでも違う折り方でできるからである。例えば、２枚目から、山、谷、山と折って最後に山折しようとすると（やってみてください）、５枚目を４枚目の下に折り込む場合と、１枚目の下に折り込む場合がでてくる。つまり山か谷かだけでは解決ができないのである。結局、５枚の場合は１０通り、６枚の場合は２４通りになる。６枚までは自分でやってみたが、それ以上は手に負えない。ある枚数までは明らかになっているようだが、nの式で表すことはできていないらしい。

コンピュータに試行させればnが有限なら（例えば「１万枚なら何通りか」という場合）答えが出せるのかもしれない。しかし、nの一般式で表すことはできないということなのであろう。簡単そうなのに未解決。不思議である。