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切手問題

数学の未解決の問題に「郵便切手問題」というのがあるらしい。

切り離されていない、横に1列に並んだn枚の切手を、折りたたんでいって、切手1枚のサイズにまで折りたたむ。このとき、左端の切手が一番上になるような折りたたみ方は何通りあるか?

わたしなんぞは慌て者だから、すぐ次のような結論を出す。

切手はn枚だから、折り目はn-1。しかし一番最初の折り目は山折りしかできないから、残りの折り目はn-2。それぞれが山折りまたは谷折りができるので答えは、2^(n-2)・・・(^は累乗を表す)。

n=4まではたしかにこのようになる。しかし、5枚になるともういけない。山・谷は同じでも違う折り方でできるからである。例えば、2枚目から、山、谷、山と折って最後に山折しようとすると(やってみてください)、5枚目を4枚目の下に折り込む場合と、1枚目の下に折り込む場合がでてくる。つまり山か谷かだけでは解決ができないのである。結局、5枚の場合は10通り、6枚の場合は24通りになる。6枚までは自分でやってみたが、それ以上は手に負えない。ある枚数までは明らかになっているようだが、nの式で表すことはできていないらしい。

コンピュータに試行させればnが有限なら(例えば「1万枚なら何通りか」という場合)答えが出せるのかもしれない。しかし、nの一般式で表すことはできないということなのであろう。簡単そうなのに未解決。不思議である。

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